第十三年第二个月。
证明工程把【证明塔存在】挂成红色后的第四天，江临终止了正在枚举第二十八层有限商的任务。
那项任务已经吃掉主计算阵列一百七十六个小时，生成的群阶则长到终端需要另开一个文件才能完整保存。
第二十七层仍在增长，第二十八层大概率也会增长，第三百层、第三千层却永远可以在尚未抵达的地方突然停住。
有限层枚举得再深，也只能证明一座塔已经修到了多高。
江临需要的是它再也封不了顶。
释放出来的算力被oUtER cAchE-07校验队列接走，屏幕左侧那片密密麻麻的塔层随即冻结，只剩最上方的红框还亮着。
【目标：构造次数趋于无穷、根判别式受控、固定有理素数保持完全分裂的cm域族】
【当前缺口：无限性】
江临把【域族】改成【无限塔】，又在下面添上一个群。
【G＝允许有限处分歧、指定素数完全分裂的最大pro-p扩张之伽罗瓦群】
塔存不存在，至此被压成了一个更不客气的问题。
这个群究竟是有限群，还是无限群？
前一版构造选了十二个有理素数，要求它们在每一层全部分裂。
这样做对平面点集很慷慨，每多一个完全分裂素数，高层数域里便会多出大批成对的素理想，单位模差向量随之成倍增加。
伽罗瓦群却要为这份慷慨逐笔付款。
指定一个素数完全分裂，等价于把它的Frobenius元杀掉；放进群表示里，就是再加一条关系。
十二个素数带来的方向尚未进入平面，十二条新关系已经把Golod—Shafarevich不等式的余量挤空了。
江临删掉一个素数，单位方向的增长底数随之下降；继续删到塔能够证明无限，几何一侧的指数又掉回零以下。
那张表格在两项要求之间拉扯了七个多月，最好的版本仍差三条关系。
证明工程给出的建议一向尽职。
【扩大分歧素数集合t，提高生成元秩】
分歧素数越多，群能够获得的独立生成元越多，根判别式的成本也会跟着所有塔层一起上涨。
把更多小素数塞进t确实可以重新赢回关系余量，回到点集计数以后，判别式却会从另一栏把这笔收益收走。
江临盯着那张已经换过十六种配色的参数表，把单位方向一栏拆回最初的理想组合。
每个完全分裂素数上方，他一直只取两种选择。
共轭素理想p与p?各取一次，组合数为二。
这是三次数域失败稿里沿用下来的设置，也是过去十一年全部搜索程序的默认值。
江临把指数上限从一改成二。
选择随即从两种变成三种：p2、pp?、p?2。
上限改成三，选择变成四种。
终端里那一列数字顺次向下展开，k每增加一，局部理想组合便多一种，负责强制分裂的Frobenius关系却仍只有一条。
分母成本会从p2涨到p的2k次方，点集所在的格也会因此变得更密。
这个代价会把最后得到的固定指数压得很小，却不会强迫它等于零。
江临把优化目标从【尽可能增大δ】改成【严格证明δ＞0】，随后将完全分裂素数的数量设为一。
十二条Frobenius关系从冲突图上依次消失，最后只剩一条。
符号搜索给出第一片可行区域时，k已经进入十八位数，候选δ则会缩进小数点后三十多位。
这样的指数在任何可实际画出的点集上都派不上用场。
埃尔德什猜想讨论的是n趋于无穷，一个固定正数只要拒绝跟着n一起缩回零，第三十八位和第一位便具有相同的否决权。
江临保存这一版参数，开始为那唯一一条Frobenius关系寻找能够承受它的塔。
五个允许分歧的奇素数最先进入证明。
相应的最大初等二扩张只能提供四个独立生成元，Shafarevich关系界再加上指定素数的分裂条件，关系数上界为五。
Golod—Shafarevich门槛是四的平方除以四，恰好等于四。
五越不过四，这条路到此为止。
江临加入第六个允许分歧素数。
生成元数由四变成五，关系数上界由五变成六，有限群必须支付的门槛则从四跳到了二十五除以四。
【生成元秩d(G)＝5】
【关系秩上界r(G)≤6】
【d(G)2／4＝6.25】
参数表里第一次多出四分之一条关系的余量。
群表示当然容不下四分之一条关系。
要么添上完整的一条，把塔截断；要么让这四分之一一直空着，有限性便无法成立。
江临选取了六个最小而又能兼顾实处分裂条件的候选。
【t＝{3，5，7，11，13，17}】
它们生成的最大全实多二次子域可以写成：
【L_t＝q(√5，√13，√17，√21，√33)】
接下来还缺一个有理素数p。
它要在L_t中完全分裂，加入i以后仍需分裂，同时不能落进t。
筛选程序跑过一百以内的素数，又在第一百零一个位置停下。
【101≡1 mod 4】
【5，13，17，21，33均为模101二次剩余】
终端把五组平方根证书排在同一行。
【452≡5，352≡13，442≡17，182≡21，292≡33(mod 101)】
一百零一因此在L_t(i)中完全分裂。
江临把它加入S，要求其Frobenius元在整座塔中恒等于一。
【S＝{∞，101}】
无限实处的分裂条件保证塔层保持全实，101则贡献那唯一一条新增关系。
证明工程沿着群上同调重新计算生成元与关系秩，红色冲突从二十三处减到四处。
第一处质疑t中六个素数是否真的提供五个独立二次方向，最大多二次子域给出了秩为五的Frattini商。
第二处质疑强制101分裂会不会同时削掉一个生成元，101在初等商中已经完全分裂，它的Frobenius落在Frattini子群内，只增加关系而不减少生成元。
第三处落在实无限位，塔的定义已经把所有实位置列入分裂集合，有限层不会长出复嵌入。
最后一处是Golod—Shafarevich不等式的严格方向。
江临把原始定理、Shafarevich关系界和当前群表示并排展开，一项项统一生成元与关系数的定义。
任何有限pro-2群若以五个生成元作最小表示，关系秩必须严格大于二十五除以四。
关系秩是整数，最低只能取七。
当前群的关系秩至多为六。
江临在证明页上写下最后一行。
【6＜25／4】
红色命题框变成绿色。
【G_t^S为无限群】
【存在次数无界的全实有限子扩张L_j】
【101在每个L_j中完全分裂】
屏幕右下角的运行时间停在二百七十三天十一小时。
江临把那页证明打印出来，夹进工作台边缘的透明板里，接下来的三天照常处理多机班组的再资格记录和oUtER cAchE-07校验缺口。
每次从控制室回来，他都会重新检查一次那条不等式。
六仍旧小于六点二五。
第四天早晨，他才允许证明工程把【塔存在】作为已知条件送入几何构造。
对每个L_j加入i，便得到cm域K_j＝L_j(i)。
塔内新增的分歧始终被限制在固定集合t，加入i只额外带来素数二的固定成本，因此K_j的次数可以不断增长，根判别式却被同一个常数压住。
江临将这个常数记为R?。
【R?＝2x3x5x7x11x13x17＝】
数字很大，好在它以后不会再随塔层增长。
若[L_j：q]＝f_j，一百零一便会在K_j中裂成f_j对互为复共轭的素理想。
江临从每一对p_a与p?_a中分配总指数k，分给p_a的指数可以取零到k中的任意一个整数，另一边自动得到剩余部分。
一对素理想给出k＋1种选择，f_j对便给出(k＋1)的f_j次方种理想。
它们拥有完全相同的范数。
类群会把其中一部分不同组合压进同一个理想类，鸽巢原理则保证至少有(k＋1)的f_j次方除以h(K_j)个组合挤在同一格里。
取同类理想之比，主理想的生成元记作a，再构造u＝a／ā。
对K_j的每一个复嵌入σ，都有：
【|σ(u)|＝|σ(a)／σ(ā)|＝1】
十一年前让三次数域不断漏出窗口的共轭坐标，这一次全被拴在各自的单位圆上。
这些u落在101的负二k次方倍整数环中，恰好可以作为同一minkowski格里的差向量。
类数仍会收走大量方向，可根判别式上界给出了h(K_j)随f_j至多指数增长的统一成本。
江临令：
【k＝?18R?3／π?－1】
这个固定整数约为七点六乘十的十七次方。
它大得足以使每层新增的单位模方向越过类数与格协体积的共同成本，又只依赖R?，往后的每一层都沿用同一个k。
证明走到这里，数域次数终于开始替江临工作。
f_j每翻一倍，窗口点数按一个固定底数增长，单位模差向量也按另一个固定底数增长；后一个底数越过门槛的部分，会被完整保留到下一层。
江临把格的全嵌入像装进半径R的多圆盘窗口，再从其中任取一个复坐标投影到平面。
域嵌入具有单射性，不同格点投影后仍是不同的平面点。
内层窗口里的每个点加上任一单位模差向量，都会留在外层窗口里，投影后的距离则严格等于一。
边界损失、格点密度、类数和分母成本全部被放回同一条指数不等式。
最初那组十八位数参数重新出现在终端上。
【点数上界：A^f_j】
【单位距离下界：A^f_jxb^f_j／c】
【b＞1】
【δ?＝log b／log A＞0】
默认精度把最后一行显示成零。
江临把浮点计算从证明依赖中删除，改用有理区间分别夹住π、对数项和根判别式上界。
二百五十六位精度时，区间下端仍在零线附近来回跳动。
五百一十二位以后，正号稳定下来。
到两千零四十八位，误差区间已经比候选值窄了九个数量级。
【δ?下界：6.0x10^－38】
【区间认证：通过】
证明工程随即生成最终命题。
【存在绝对常数δ?＞0，以及任意大的平面有限点集p，使其确定的单位距离数满足】
【U(p)≥|p|^(1＋δ?)／c】
江临把第二行复制到第192章课堂原稿的最后一页，又在下面写出埃尔德什猜想的形式。
【U(n)≤n^(1＋o(1))】
固定的δ?不会随着n增大而消失，两行式子无法同时成立。
文件状态从【条件反例】变成了【主链闭合／进入独立核验】。
本轮第十四年到第十六年，江临没有继续优化那个小得可怜的指数。
更大的δ能让结果好看一些，猜想的真假已经越过了零线。
他把两年多时间用在拆证明上。
数域构造、群论无限性、类数估计、单位模元素计数、minkowski格点界和二维投影被分成六个互不共用中间结论的核验包。
每个外部定理都追溯到离线文献原文，每处【存在】都标明选择依赖，每个浮点数都被换成可以复查的严格区间。
第一轮核验遮住主稿里的去重引理，只从理想比值与cm域单位核重新计算纤维重数，得到的统一上界与主证明中预先计入固定常数c的单位根因子完全一致。
第二轮核验删去投影部分的全部中间结论，从域嵌入的单射性重新推出平面点不会重合，得到同一条投影边界。
第三轮只保留窗口中心随机平移的平均计数，从原始格点估计独立恢复主稿中的确定性存在命题，点数与边数的比例仍落在原边界内。
最后一轮攻击直接删掉全部有限层数值样本，只保留符号不等式和已有定理，四轮独立路线最终重新拼回同一条主链。
证明从第一版终稿到最后一次攻击，结论、常数与适用边界都没有改变。
本轮第十六年第三个月，凌晨四点二十七分。
江临完成了最后一次从定理陈述向前倒查，终端把四千三百一十七个依赖节点全部标成绿色。
【塔无限性：通过】
【根判别式一致上界：通过】
【单位模方向指数增长：通过】
【平面投影计数：通过】
【固定正指数：通过】
【结论：埃尔德什单位距离猜想不成立】
工作台另一侧还放着那份二十七页的三次域失败稿。
第一页的任务元数据保留着江临在清华宿舍写下的日期。
【计划正式启动：2022年11月1日】
现实世界离那一天还有两天。
江临在废土里已经把这份文件带过了十多个冬天。
他把最终稿分成纸质、离线硬盘和只读校验盘三份，又将带回现实的版本放进回归清单。
稿件状态栏里，他填下【内部证明闭合／待现实同行核验】。
打印机在清晨五点吐出最后一页。
这一页只有核验签名、文件哈希，以及整份证明里最短的一行式子。
【6＜25／4】