林深又举手。张老师看了他一眼。“你来。”
林深站起来。“对于任意e＞0，取N=1/e。当m，n＞N时，假设m≥n，则|1/m-1/n|≤1/n＜e。所以数列满足柯西条件，因此收敛。”
张老师点点头。“很好。但这个证明有一个问题。”他看着林深，“你用了m≥n的假设，但柯西准则要求所有m，n，不需要大小关系。你的证明完整吗？”
林深想了想。“不完整。应该分情况讨论。或者直接用1/n+1/m＜2/n。”
张老师笑了一下。“对。分情况讨论，或者用对称性。细节很重要。”
他转过身，继续往下讲。林深坐下，在笔记本上把那道题重新写了一遍，把分情况讨论的步骤补上。旁边的男生侧过头看了一眼他的笔记，又转回去了。
第二节课是高等代数。李老师讲线性空间的定义。
“一个非空集合V，如果定义了加法和数乘两种运算，并且满足八条公理，就称为线性空间。”李老师把八条公理一条一条写在黑板上。加法交换律、结合律、零元存在、负元存在、数乘分配律……
林深听着，脑子里想的是矩阵空间的例子。李老师讲到数乘分配律的时候，举了个例子。
“设V是全体实数的集合，定义加法为普通加法，数乘为λ⊙x=λ2x。问V是不是实数域上的线性空间？”
下面有人开始算。林深没动笔，心算了一下。λ⊙(μ⊙x)和(λμ)⊙x不相等，第一条分配律就不满足。李老师等了一会儿，目光扫过教室。
“林深，你说说。”
林深站起来。“不是。因为数乘不满足结合律。λ⊙(μ⊙x)=λ2(μ2x)=λ2μ2x，而(λμ)⊙x=(λμ)2x=λ2μ2x。这个成立，所以数乘结合律没问题。问题是分配律。λ⊙(x+y)=λ2(x+y)，λ⊙x+λ⊙y=λ2x+λ2y，这个成立。但(λ+μ)⊙x=(λ+μ)2x=λ2x+2λμx+μ2x，而λ⊙x+μ⊙x=λ2x+μ2x。两者相差2λμx，所以不是线性空间。”
李老师听完，没点评，转过身在黑板上把刚才那个例子擦掉。“所以不是随便定义运算就能构成线性空间。八条公理，缺一条都不行。”
下课铃响了。李老师收起讲义，走出教室。林深把笔记本合上，站起来往外走。走廊里人多，有人赶着去下一节课，有人站在窗边聊天。他穿过人群，下楼，往数学系老楼走。
杨小京的办公室在三楼。林深敲门的时候，里面传出一声“进”。他推开门，杨小京坐在办公桌后面，面前摊着一本英文期刊，手里拿着红笔。
“来了？”杨小京抬起头。
林深在他对面坐下。“杨老师，上周您让我看的那篇论文，看完了。”
杨小京把期刊合上。“有什么想法？”
林深从书包里抽出几张纸，递过去。“他那个证明思路有点绕。我试着用傅里叶变换重新推了一遍，感觉更直接。”
杨小京接过来，一页一页翻。办公室很安静，只有翻纸的声音。
林深坐在对面，没说话。窗外有鸟叫，楼下有人在说话，声音模模糊糊的。
杨小京翻到第三页，停下来，盯着那几行推导看了一会儿。“这里，你的积分换序，条件够吗？”
林深凑过去看了一眼。“我验证了。函数在区间上绝对可积，Fubini定理适用。验证过程写在下一页。”
杨小京翻过去，看了一会儿，点点头。“行，这个思路对。但你的表述不够严谨，回去再改改。”他把那几张纸放在桌上，看着林深。“你的数学水平，现在跟博士生不差什么了。”
林深没接话。
杨小京靠在椅背上。“但你的基础还是不够扎实。你知道怎么证，但有时候写出来不够漂亮。这不是大问题，但要花时间磨。”
林深点头。“我知道了。”
杨小京把期刊推到他面前。“这篇你拿回去看，下周跟我说说你的想法。”
林深接过来，放进书包里。他站起来，准备走。杨小京又叫住他。
“等等。老钱那边，你下午去吗？”
林深点头。“去。三点。”
杨小京笑了一下。“老钱上周跟我说，你在他课上问的问题，把研究生都问住了。”
林深愣了一下。“哪个问题？”
“就是那个，关于制度变迁的路径依赖。他说你问的是路径依赖是不是意味着历史决定论。他说你师兄师姐回去想了三天，还没想好怎么答。”
林深没说话。
杨小京摆摆手。“行了，去吧。别让老钱等。”
下午三点，经济学院的小会议室。
钱颖一坐在长桌一头，面前摊着几页讲义。旁边坐着两个研究生，一个研一一个研二，都是钱颖一带的学生。林深推门进来的时候，两个人抬起头看了他一眼。
钱颖一招招手。“坐。”
林深在他旁边坐下，把书包放在地上。钱颖一没有看讲义，直接开口。
“上次我们讲到制度变迁的路径依赖。林深问的问题。”他看着那两个研究生。“你们先说说，什么是路径依赖？”
研一的女生想了想。“就是历史会影响未来。一开始的选择决定了后来的走向，即使后来有更好的选择，也很难改回去。”
钱颖一点点头。“这是通俗的理解。学术上，路径依赖指的是制度演化过程中的自我强化机制。越走越偏，越偏越难回头。”他转向林深。“你上次问，路径依赖是不是意味着历史决定论。我现在回答你——不完全是。”
林深看着他。
钱颖一说：“路径依赖说历史会影响未来，但没说历史会决定未来。关键节点上，人的选择仍然可以改变方向。只不过，改方向需要付出更高的成本。”他顿了顿。“你的问题其实是——如果路径依赖成立，那改革还有没有意义？”
会议室里安静了一下。两个研究生看着林深。林深想了想。
“我不是这个意思。我是想问，如果路径依赖是因为自我强化机制，那自我强化机制本身是怎么形成的？是技术的、制度的，还是文化的？”
钱颖一看了他几秒，然后笑了。“这个问题比上一个还难。”
他从讲义里抽出一张纸，推到林深面前。“这是我去年在《经济研究》上发的一篇文章，谈的就是这个问题。你拿回去看，下周我们接着聊。”
林深接过来，折好放进书包。研一的女生看着他，眼神里有点东西。研二的男生低着头翻讲义，没抬头。